Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο [α,β] για την οποία ισχύει f (α) + f (β) = 0.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α,β].
Λύση:
Ελέγχουμε εάν πληρούνται στη συνάρτηση f οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος
Bolzαno στο διάστημα [α,β].
(i) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
(ii) Επειδή f (α) + f (β) = 0 Û f (α) = – f (β).
Άρα f (α)×f (β) = – [f (β)]2 £ 0.
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις
(α) Εάν f (α)×f (β) = 0 Û f (α)=0 ή f (β)=0, τότε τουλάχιστον ένα από τα άκρα
του διαστήματος [α,β] είναι ρίζα της εξίσωσης f (x) = 0.
(β) Εάν f (α)×f (β) < 0, σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzαno η εξίσωση f (x) = 0,
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (α,β).
Οπότε από τα (α) και (β) έχουμε σαν συμπέρασμα, ότι η εξίσωση
f (x) = 0, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [α,β].
