Δίνεται συνάρτηση f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Â, με f (0) > 0, για την οποία ισχύει
f 4(x + 1) = 2011 + f 4(x), για κάθε xÎÂ.
Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0, έχει μοναδική ρίζα.
Λύση:
Aπό τα δεδομένα έχουμε
f 4(x + 1) = 2011 + f 4(x), για κάθε xÎÂ,
τότε για x = 0 είναι
f 4(1) = 2011 + f 4(0) Û
Û f 4(1) – f 4(0) = 2011 Û
Û [f 2(1) – f 2(0)]×[f 2(1) + f 2(0)] = 2011 Û
Û [f (1) – f (0)]×[f (1) + f (0)]×[f 2(1) + f 2(0)] = 2011 (1).
Επειδή η είναι f γνησίως φθίνουσα στο Â, για
0 < 1 είναι f (0) > f (1) Û f (1) – f (0) < 0,
επίσης f 2(1) + f 2(0) > 0 και 2011 > 0.
Συνεπώς από την (1) παίρνουμε ότι
f (1) + f (0) < 0 Û f (1) < – f (0) < 0 Û f (1) < 0.
Eφαρμόζουμε στην f το Θεώρημα Βοlzαno (Θ.Β.) στο διάστημα [0,1].
· Η f είναι συνεχής στο [0,1], διότι είναι συνεχής στο Â.
· f (0) > 0 & f (1) < 0, άρα f (0)×f (1) < 0.
Σύμφωνα με το Θ.Β. η εξίσωση f (x) = 0, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1).
Επίσης η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Â, άρα η εξίσωση f (x) = 0, έχει το πολύ μια ρίζα.
Συνεπώς η εξίσωση f (x) = 0, έχει μοναδική ρίζα.
