EΦΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT
Εάν ισχύει, α x + β x + γ x ³ 3, για κάθε xÎÂ με α, β, γ > 0. Να αποδείξετε ότι α×β×γ = 1.
Λύση:
Εφόσον αx +βx +γx ³ 3 , για κάθε xÎÂ τότε είναι : αx +βx +γx - 3 ³ 0.
Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = αx +βx +γx – 3 με f ΄(x) = αx lnα +βx lnβ +γx lnγ .
Παρατηρούμε η συνάρτηση f έχει για x = 0 προφανή ρίζα αφού f(0) = 0.
Tότε η ανίσωση αx +βx +γx -3³ 0 , παίρνει τη μορφή f(x) ³ f(0) , για κάθε xÎÂ
οπότε έχουμε κατασκευάσει τον Ορισμό του Ολικού Ελάχιστου.
Συνεπώς η f παρουσιάζει στο x0= 0 Oλικό Ελάχιστο, άρα σύμφωνα με το Θεώρημα Fermat, ισχύει :f ΄(0) = 0.
Όμως f ΄(0)= lnα + lnβ + lnγ = ln(αβγ) άρα ln(αβγ) = 0 Û αβγ = 1.
