Να λυθεί η εξίσωση x 3 + e x = 1.
Λύση:
Θεωρούμε την εξίσωση f (x) = x + e x – 1, xεR.
Θεωρούμε την εξίσωση f (x) = x + e x – 1, xεR.
Παρατηρούμε ότι για x = 0, είναι
f (0) = 0 + e 0 – 1 = 1 – 1 = 0,
Άρα η εξίσωση f (x) = 0, έχει προφανή ρίζα το 0,
συνεπώς η εξίσωση f (x) = 0, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο R (1).
Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία στο R.
H f είναι παραγωγίσιμη στο R, me
H f είναι παραγωγίσιμη στο R, me
f ΄ (x) = ( x + e x – 1)΄ = 1 + e x > 0, για κάθε xεR.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο Â, άρα η εξίσωση
f (x) = 0, έχει πολύ μια ρίζα στο R (2).
Από τις (1) & (2) προκύπτει ότι η εξίσωση f (x) = 0, έχει μοναδική ρίζα το 0.
Εφαρμογή για λύση από τους μαθητές
Να λυθεί η εξίσωση x 3 + lnx = 1.
