Έστω f, g ορισμένες στο R για τις οποίες ισχύει
e 2g (x) + g 5(x) + 2015g (x) = e 2f (x) + f 5(x) + 2015f (x), για κάθε xεR.
Nα αποδείξετε ότι f = g.
Λύση:
Θεωρούμε τη συνάρτηση h (x) = e2x + x5 + 2015x, xεR,
οπότε η δοθείσα ισότητα
e 2g (x) + g 5(x) + 2015g (x) = e 2f (x) + f 5(x) + 2015f (x), για κάθε xεR
παίρνει τη μορφή
h (g (x)) = h (f (x)), xeR.
Η συνάρτηση h (x) είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο
h ΄(x) = (e 2x + x5 + 2015x) ΄ = 2e 2x + 5x4 + 2015 > 0, για κάθε xεR
συνεπώς
η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα η h είναι «1-1» στο R.
Eίναι λοιπόν
h (g (x)) = h (f (x)) τότε g (x) = f (x), διότι h (x) «1-1».
Επειδή οι f, g είναι ορισμένες στο R και έχουν τον ίδιο τύπο τότε f = g.
