Ασκήσεις για προπαίδευση
A’ Ομάδα
1. Έστω f παραγωγίσιμη στο [1,2], με f (2) = 2f (1), να αποδείξετε ότι
η εξίσωση
η εξίσωση
x f ΄(x) = f (x),
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1,2).
2. Έστω f παραγωγίσιμη στο [1,2],με f (2) = 4f (1), να αποδείξετε ότι η εξίσωση
x f ΄(x) = 2 f (x),
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1,2).
3. Έστω f παραγωγίσιμη στο [0,1], με f (1) = ef (0), να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f ΄(x) = f (x),
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1).
4. Έστω f παραγωγίσιμη στο [0,1], με f (0) = f (1) = 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f ΄(x) = – 2x f (x),
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1).
Β’ Ομάδα
5. Έστω f, g παραγωγίσιμες στο [0,1], με f (0) = f (1) = 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f ΄(x) = g ΄(x) f (x),
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1).
6. Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,2011] με
f (0) = f (2011) = f ΄(0) = f ΄(2011),
f (0) = f (2011) = f ΄(0) = f ΄(2011),
να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f ΄΄(x) – 2 f ΄(x) + f (x) = 0,
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,2011).
7. Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με f ΄(α) = f ΄(β) = 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f ΄΄(x) = – [f ΄(x)]2,
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β).
Τα Φροντιστήρια "ΤOMH"Αμπελόκηποι Θεσσαλονίκη 2310747373 πάντα δίπλα στον μαθητή
