1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x8 + 8x + 2011 = 0, έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες.
Λύση:
Έστω f (x) = x8 + 8x + 2011, xεR με f ΄(x) = 8x7 + 8.
Υποθέτουμε ότι η f έχει 2 ρίζες ρ1, ρ2, ρ3 στο R με ρ1 < ρ2 < ρ3 με
f (ρ2) = f (ρ2) = f (ρ3) = 0
f (ρ2) = f (ρ2) = f (ρ3) = 0
Με εφαρμογή του Θεωρήματος Rolle στα [ρ1,ρ2] και [ρ2,ρ3] για την f, λαμβάνουμε αντίστοιχα
ξ1ε(ρ1,ρ2) και ξ2ε(ρ2,ρ3) ώστε f ΄(ξ1) = 0 και f ΄(ξ2) = 0, με ξ1 < ξ2.
Παρατηρούμε όμως ότι
f ΄(ξ1) = 0 ή 8ξ17 + 8 = 0 ή ξ1 = – 1 και f ΄(ξ2) = 0 ή 8ξ27 + 8 = 0 ή ξ2 = – 1
άτοπο, διότι ξ1 < ξ2.
