Θεωρούμε μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει
f ΄(x) ≠ 0, για κάθε xε R. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
Λύση:
Υποθέτουμε ότι η f δεν είναι 1-1, τότε υπάρχουν
x1, x2εR με x1 < x2 τέτοια ώστε f (x1) = f (x2).
Ελέγχουμε εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle για τη f στο [x1,x2].
·Η f είναι συνεχής στο [x1,x2], ως παραγωγίσιμη.
· Η f είναι παραγωγίσιμη στο (x1,x2).
· f (x1) = f (x2).
Σύμφωνα λοιπόν με το Θ.Rolle, υπάρχει ξε(x1,x2): f ΄(ξ) = 0, που είναι άτοπο διότι
για την f ισχύει f ΄(x) ≠ 0, για κάθε xεR. Άρα η f είναι 1-1.
