Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο Â για την οποία ισχύει
(f (x) – x)×f ΄(x) = f (x), για κάθε xÎÂ.
Εάν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(0,1), να προσδιορίσετε τον τύπο της f.
Λύση:
Επειδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(0,1), τότε
είναι f (0) = 1, επίσης ισχύει
(f (x) – x)×f ΄(x) = f (x), για κάθε xÎÂ Û
Û f (x)×f ΄(x) – x×f ΄(x) = f (x) Û
Û f (x)×f ΄(x) = x×f ΄(x) + f (x) Û
Û 1/2[f 2 (x)] ΄ = [x×f (x)] ΄, τότε
1/2f 2 (x) = x×f (x) + c Û 1/2f 2 (x) = x×f (x) + c, όπου cÎÂ.
· Για x = 0, είναι
f 2 (0) = c, αλλά f (0) = 1, άρα c = 1.
Είναι λοιπόν
f 2 (x) = 2x×f (x) + 1, xÎÂ Û
Û f 2 (x) – 2x×f (x) = 1
Û f 2 (x) – 2x×f (x) + x 2 = x 2 + 1 Û
Û [f (x) – x] 2 = x 2 + 1 Û
Û f (x) – x = sqrt(x2 + 1).
Συνεπώς είναι f (x) = x + sqrt(x2 + 1), xÎÂ.
Yπενθύμιση: sqrt = τετραγωνική ρίζα
