Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τις
πιθανότητες των οποίων ισχύει
9Ρ 2(Α΄) + 4Ρ 2(Β) + 12Ρ(Α) + 4Ρ(Β΄) – 11 = 0.
Εάν Ρ(ΑÈΒ) + 3Ρ(ΑÇΒ) = 1, τότε
(i) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(ΑÈΒ) και Ρ(ΑÇΒ).
(ii) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων
Γ: « πραγματοποιείται μόνο το Β»
Δ: «πραγματοποιείται μόνο το Α».
Ε: «πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α, Β».
Λύση:
Από τα δεδομένα έχουμε την ισότητα
9Ρ 2(Α΄) + 4Ρ 2(Β) + 12Ρ(Α) + 4Ρ(Β΄) – 11 = 0, αλλά
Ρ(Α΄) = 1 – Ρ(Α) και Ρ(Β΄) = 1 – Ρ(Β), τότε
9[1 – Ρ(Α)] 2 + 4Ρ 2(Β) + 12Ρ(Α) + 4[1 – Ρ(Β)] – 11 = 0
9[1 – 2Ρ(Α) + Ρ 2(Α)] + 4Ρ 2(Β) + 12Ρ(Α) + 4 – 4Ρ(Β) – 11 = 0
9 – 18Ρ(Α) + 9Ρ 2(Α) + 4Ρ 2(Β) + 12Ρ(Α) + 4 – 4Ρ(Β) – 11 = 0
9 – 18Ρ(Α) + 9Ρ 2(Α) + 4Ρ 2(Β) + 12Ρ(Α) + 4 – 4Ρ(Β) – 11 = 0
9Ρ 2(Α) – 6Ρ(Α) + 4Ρ 2(Β) – 4Ρ(Β) + 2 = 0
9Ρ 2(Α) – 6Ρ(Α) + 4Ρ 2(Β) – 4Ρ(Β) + 1 + 1 = 0
[9Ρ 2(Α) – 6Ρ(Α) + 1]+ [4Ρ 2(Β) – 4Ρ(Β) + 1] = 0
(3Ρ(Α) – 1) 2+ (2Ρ(Β) – 1) 2 = 0 τότε
(3Ρ(Α) – 1) 2 = 0 και (2Ρ(Β) – 1) 2 = 0
ή 3Ρ(Α) – 1 = 0 και 2Ρ(Β) – 1 = 0
Ρ(Α) = 1/3 και Ρ(Β) = 1/2.
Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω, ισχύει ο προσθετικός νόμος
Ρ(ΑÈΒ) + Ρ(ΑÇΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β), αλλά Ρ(Α) = 1/3 και Ρ(Β) =1/2.
Άρα
Ρ(ΑÈΒ) + Ρ(ΑÇΒ) = 1/3 + 1/2
Ρ(ΑÈΒ) + Ρ(ΑÇΒ) = 5/6 ή
Ρ(ΑÈΒ) + Ρ(ΑÇΒ) = 5/6 ή
6Ρ(ΑÈΒ) + 6Ρ(ΑÇΒ) = 5. (1)
Επίσης από τα δεδομένα έχουμε την ισότητα Ρ(ΑÈΒ) + 3Ρ(ΑÇΒ) = 1. (2).
Λύνουμε το σύστημα των
6Ρ(ΑÈΒ) + 6Ρ(ΑÇΒ) = 5. (1) και Ρ(ΑÈΒ) + 3Ρ(ΑÇΒ) = 1. (2),
οπότε προκύπτει
4Ρ(ΑÈΒ) = 3 ή Ρ(ΑÈΒ) =3/4,
επίσης από τη σχέση
Ρ(ΑÈΒ) + 3Ρ(ΑÇΒ) = 1, για Ρ(ΑÈ) = 3/4 έχουμε
3/4 + 3Ρ(ΑÇΒ) = 1 ισοδύναμα 3Ρ(ΑÇΒ) = 1 – 3/4
3Ρ(ΑÇΒ) = 1/4 ή Ρ(ΑÇΒ) = 1/12.
(ii) Για το ενδεχόμενο
Γ: « πραγματοποιείται μόνο το Β» είναι Γ = Β – Α, άρα
Ρ(Γ) = Ρ(Β – Α) = Ρ(Β) – Ρ(ΑÇΒ) = 1/2 – 1/12 =5/12.
Για το ενδεχόμενο
Δ: «πραγματοποιείται μόνο το Α» είναι Δ = Α – Β, άρα
Ρ(Δ) = Ρ(Α – Β) = Ρ(Α) – Ρ(ΑÇΒ) = 1/3 –1/12= 1/4.
Για το ενδεχόμενο
Ε: «πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α, Β» είναι Ε = (Α – Β)È(Β – Α), άρα
Ρ(Ε) = Ρ[(Α – Β)È(Β – Α)] = Ρ(Α – Β) + Ρ(Β – Α) = 3/12 + 5/12 = 2/3.
