Να αποδείξετε την ανίσωση x×ex ³ ex – 1, για κάθε xÎÂ.
Λύση:
Θέλουμε να αποδείξουμε, για κάθε xÎÂ την ανίσωση
x×ex ³ ex – 1 Û x×ex – ex + 1 ³ 0.
Θεωρούμε τη συνάρτηση g (x) = x×e x – e x + 1, xÎÂ.
Η g είναι παραγωγίσιμη στο Â με
g΄(x) = (x×e x – e x +1)΄ = e x + x×e x – e x = x×e x,
g΄(x) = 0 Û x×e x = 0 Û x = 0.
x | – ¥ 0 + ¥ | |
g΄(x) | – | + |
g(x) | γνησίως φθίνουσα | γνησίως αύξουσα |
Από τον πίνακα μεταβολών της g προκύπτει ότι η g παρουσιάζει στο 0 ολικό ελάχιστο το g (0) = 0, ισχύει ο ορισμός του ολικού ελάχιστου
g (x) ³ g (0), για κάθε xÎÂ
Û x×ex – ex + 1³ 0 Û x×ex ³ ex – 1, για κάθε xÎÂ.
